Παραγοντοποίηση Α

Παραγοντοποίηση Α’

Λοιπόν, παιδιά, πού είπαμε ότι χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ανάποδα; Στην αγαπημένη μας παραγοντοποίηση!  Ας θυμηθούμε τις περιπτώσεις που μάθαμε:

Α) κοινός παράγοντας

  Παραδείγματα:

1)   5x+10y=5(x+2y)

2)   4x²-8xy+4x=4x(x-2y+1)

3)   6x²y-3xy²=3xy(2x-y)

4)   2x²(x-1)-4x(x-1)²=2x(x-1)[x-2(x-1)]=

2x(x-1)(x-2x+2)=2x(x-1)(2-x)

Σκεφτόμαστε: Τι κοινό έχουν οι όροι; Το κοινό μπαίνει μπροστά και σε παρένθεση ό,τι περισσεύει. Κάνουμε στο μυαλό μας επαλήθευση με την επιμεριστική ιδιότητα. Σε μια πιο περίπλοκη, όπως το παράδειγμα 4), κάνουμε πράξεις προσεκτικά, όσο πάει.

Ομοίως, να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις :

1)   9x+6y=

2)   8x²-4x=

3)   5x²+10xy-5x=

4)   x²y+xy²+xy=

5)   3x(x+1)-y(x+1)=

6)   x²(x-5)-2(5-x)=

7)   3x²+6x=

8)   4x³-4x²=

9)   4x²y-12xy= 

10)    3(x-y)-α(y-x)-x+y=

11)    (α+1)²-α-1=

12)    (x-4)(α+β)-x+4=

Β) ομαδοποίηση

Παραδείγματα:

1)   x²+xy+αx+αy= x(x+y)+α (x+y)=(x+y)(x+α)

2)   2x³-3x²+4x-6= x²(2x-3)+2(2x-3)=(2x-3)(x²+2)

Παίρνουμε τους όρους ανά δύο, βγάζουμε κοινό παράγοντα κι έπειτα προκύπτει πάλι κοινός παράγοντας.

  Ομοίως να παραγοντοποιήσετε:

1)   α³+α²β+αβ²+β³=

2)   x³-5x²+7x-35=

3)   x³+x²+x+1=

4)   x³+2x²y-3x-6y=

  Γ) Διαφορά τετραγώνων

  Παραδείγματα:

1)   x²-25=x²-5²=(x-5)(x+5)

2)   49x²-1=(7x)²-1²=(7x-1)(7x+1)

3)   4(x+1)²-9(x-2)²=[2(x+1)]²-[3(x-2)]²=

[2(x+1)-3(x-2)][2(x+1)+3(x-2)]=

(2x+2-3x+6)(2x+2+3x-6)=

(-x+8)(5x-4)  

  (Η τελευταία ταυτότητα ανάποδα)

  Ομοίως να κάνετε γινόμενο:

1)   x²-81=

2)   x²-16y²=

3)   4-α²=

4)   16α²-25β²=

5)   x²-5=

6)   α⁴-1=

7)   x²-1/9=

8)   9(x+y)²-16(x-y)²=

  Δ) Ανάπτυγμα τετραγώνου

  Παραδείγματα:

  1)     x²+6x+9=x²+2·x·3+3²=(x+3)²

  2)     4x²-20x+25=(2x)²-2·2x·5+5²=(2x-5)²

  (Οι πρώτες δύο ταυτότητες ανάποδα, σκεφτόμαστε από πού προήλθαν ο 

  πρώτος και ο τρίτος όρος, επιβεβαίωση του μεσαίου όρου).

  Ομοίως να παραγοντοποιήσετε:

1)   x²-4x+4=

2)   x²+2x+1=

3)   x²-10x+25=

4)   49x²-28x+4=

5)   (x+y)²-6(x+y)+9=

6)   x²-x+1/4=