ΣΠΑΝΟΥ ΦΑΝΗ
Παραγοντοποίηση Α’
Απαντήσεις στο μάθημα των ταυτοτήτων
Τα λέμε σύντομα με ασκήσεις παραγοντοποίησης!
Αγαπημένοι μου μαθητές,
Λοιπόν, παιδιά, πού είπαμε ότι χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ανάποδα; Στην αγαπημένη μας παραγοντοποίηση! Ας θυμηθούμε τις περιπτώσεις που μάθαμε:
Α) κοινός παράγοντας
Παραδείγματα:
1) 5x+10y=5(x+2y)
2) 4x2-8xy+4x=4x(x-2y+1)
3) 6x2y-3xy2=3xy(2x-y)
4) 2x2(x-1)-4x(x-1)2=2x(x-1)[x-2(x-1)]=
2x(x-1)(x-2x+2)=2x(x-1)(2-x)
Σκεφτόμαστε: Τι κοινό έχουν οι όροι; Το κοινό μπαίνει μπροστά και σε παρένθεση ό,τι περισσεύει. Κάνουμε στο μυαλό μας επαλήθευση με την επιμεριστική ιδιότητα. Σε μια πιο περίπλοκη, όπως το παράδειγμα 4), κάνουμε πράξεις προσεκτικά, όσο πάει.
Ομοίως, να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις :
1) 9x+6y=
2) 8x2-4x=
3) 5x2+10xy-5x=
4) x2y+xy2+xy=
5) 3x(x+1)-y(x+1)=
6) x2(x-5)-2(5-x)=
7) 3x2+6x=
8) 4x3-4x2=
9) 4x2y-12xy=
10) 3(x-y)-α(y-x)-x+y=
11) (α+1)2-α-1=
12) (x-4)(α+β)-x+4=
Β) ομαδοποίηση
Παραδείγματα:
1) x2+xy+αx+αy= x(x+y)+α (x+y)=(x+y)(x+α)
2) 2x3-3x2+4x-6= x2(2x-3)+2(2x-3)=(2x-3)(x2+2)
Παίρνουμε τους όρους ανά δύο, βγάζουμε κοινό παράγοντα κι έπειτα προκύπτει πάλι κοινός παράγοντας.
Ομοίως να παραγοντοποιήσετε:
1) α3+α2β+αβ2+β3=
2) x3-5x2+7x-35=
3) x3+x2+x+1=
4) x3+2x2y-3x-6y=
Γ) Διαφορά τετραγώνων
Παραδείγματα:
1) x2-25=x2-52=(x-5)(x+5)
2) 49x2-1=(7x)2-12=(7x-1)(7x+1)
3) 4(x+1)2-9(x-2)2=[2(x+1)]2-[3(x-2)]2=
[2(x+1)-3(x-2)][2(x+1)+3(x-2)]=
(2x+2-3x+6)(2x+2+3x-6)=
(-x+8)(5x-4)
(Η τελευταία ταυτότητα ανάποδα)
Ομοίως να κάνετε γινόμενο:
1) x2-81=
2) x2-16y2=
3) 4-α2=
4) 16α2-25β2=
5) x2-5=
6) α4-1=
7) x2-1/9=
8) 9(x+y)2-16(x-y)2=
Δ) Ανάπτυγμα τετραγώνου
Παραδείγματα:
1) x2+6x+9=x2+2·x·3+32=(x+3)2
2) 4x2-20x+25=(2x)2-2·2x·5+52=(2x-5)2
(Οι πρώτες δύο ταυτότητες ανάποδα, σκεφτόμαστε από πού προήλθαν ο
πρώτος και ο τρίτος όρος, επιβεβαίωση του μεσαίου όρου).
Ομοίως να παραγοντοποιήσετε:
1) x2-4x+4=
2) x2+2x+1=
3) x2-10x+25=
4) 49x2-28x+4=
5) (x+y)2-6(x+y)+9=
6) x2-x+1/4=
Απαντήσεις στο μάθημα των ταυτοτήτων
(α + β)2= α2+2αβ+β2
(α - β)2= α2_2αβ+β2
(α + β)3= α3+3α2β+3αβ2+β3
(α - β)3= α3_3α2β+3αβ2_β3
(α + β) (α – β)= α2_β2
1. (x+4)2= x2+2x4+42= x2+8x+16
2. (x+5y)2= x2+2·x·5y+(5y)2= x2+10xy+25y2
3. (3x+2y)2= (3x)2+2·3x·2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2
4. (2x-1)2= (2x)2-2·2x·1+12=4x2-4x+1
5. (x2-3)2= (x2)2-2·x2·3+32=x4-6x2+9
6. (x+2)3= x3+3·x2·2+3·x·22+23= x3+6x2+12x+8 (3·22=3·4=12)
7. (x-3)3= x3-3·x2·3+3·x·32-33= x3-9x2+27x-27 (33=3·3·3=27)
8. (5x-1)3= (5x)3-3·(5x)2·1+3·5x·12-13=
53x3-3·52x2·1+15x·1-1=125 x3-75x2+15x-1
(53=5·5·5=125, 3·52=3·25=75)
9. (x-5)(x+5)= x2_52=x2-25
10. (3x+2y)(3x-2y)= (3x)2- (2y)2=9x2-4y2
12 α),β) στη σελίδα 50.
α) (x-2y)2-(2x-y)2+3x2=
x2-2·x·2y+(2y)2-[(2x)2-2·2x·y+y2] +3x2=
x2-4xy+4y2-(4x2-4xy+y2)+3x2=
x2-4xy+4y2-4x2+4xy-y2+3x2=3y2 (αναγωγή ομοίων όρων)
β) (α-3β)2+(3α+2β)(3α-2β) - (3α-β)2=
α2-2·α· 3β+(3β)2+[(3α)2-(2β)2]-[(3α)2-2·3α·β+β2]=
α2-6αβ+9β2+9α 2-4β2-(9α2-6αβ+β2)=
α2-6αβ+9β2+9α2-4β2-9α2+6αβ-β2=α2+4β2
16.
(x+y)2-(x-y)2=x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)=
x2+2xy+y2-x2+2xy - y2=4xy
4xy/xy=4.
Αφού απλοποιούνται οι μεταβλητές x και y, το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο από τις τιμές τους και είναι πάντα 4.
Οδηγίες για εμπέδωση των ασκήσεων:
Διαβάστε τις απαντήσεις και βρείτε τα λάθη σας. Προσπαθήστε να καταλάβετε τι σκεφτήκατε διαφορετικά, ώστε να μην το επαναλάβετε. Ξαναλύστε τις ασκήσεις έπειτα από λίγες μέρες. Αν δεν τις κατανοήσετε, γράψτε μου τις απορίες σας στα «μηνύματα».
Αν καταφέρατε να τις λύσετε όλες σωστά, μπράβο σας παιδιά! Μπράβο, όμως, και σε όσους προσπάθησαν και τα κατάφεραν σε κάποιες!
Και επειδή προς το παρόν δεν μπορούμε να παίξουμε λέξεις, πάρτε ένα γρίφο:
Μπορείτε να βάλετε 10 κουκίδες σε πέντε ευθύγραμμα τμήματα, έτσι ώστε να βρίσκονται 4 κουκίδες σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα;
Αγαπημένοι μου μαθητές,
αρκετά ξεκουραστήκαμε, καιρός να ξυπνήσουμε τον εγκέφαλό μας
με λίγες επαναληπτικές ασκήσεις!
Μάθημα 1ο: Ταυτότητες (Άλγεβρα παράγραφος 1.5)
Ας συμπληρώσουμε τις παρακάτω ταυτότητες:
(α + β)2=
(α - β)2=
(α + β)3=
(α - β)3=
(α + β) (α – β)=
Τώρα, ας τις εφαρμόσουμε στις ασκήσεις:
1. (x+4)2=
2. (x+5y)2=
3. (3x+2y)2=
4. (2x-1)2=
5. (x2-3)2=
6. (x+2)3=
7. (x-3)3=
8. (5x-1)3=
9. (x-5)(x+5)=
10. (3x+2y)(3x-2y)=
Αν δυσκολεύεστε, ακολουθήστε τα παραδείγματα:
(x+3y)2 = x2+2·x·3y+(3y)2 = x2+6xy+9y2
(3x-4y)2 = (3x)2-2·3x·4y+(4y)2 = 9x2-24xy+16y2
(Θυμίζω ενδεικτικά τον τρόπο που σκεφτόμαστε στην πρώτη ταυτότητα:
το πρώτο στο τετράγωνο+ 2 φορές το πρώτο επί το δεύτερο + το δεύτερο στο τετράγωνο). Όταν ο όρος είναι σύνθετος, τον βάζουμε σε παρένθεση.
Προαιρετικά, λύστε τις ασκήσεις 12 α),β) στη σελίδα 50. Σας προτείνω να αναπτύξετε πρώτα ξεχωριστά την κάθε ταυτότητα στο αριστερό μέλος της παράστασης κι έπειτα να κάνετε αναγωγή ομοίων όρων («συμμάζεμα» με υπογράμμιση), για να καταλήξετε στο δεξιό μέλος.
Για να κλείσουμε ευχάριστα, ακολουθήστε τις οδηγίες της άσκησης 16 στη σελίδα 50. Πάντα βρίσκουμε 4, καταλάβατε γιατί;
Στο επόμενο μάθημα θα σας στείλω τις λύσεις των ασκήσεων. Αν θέλετε, βαθμολογήστε δίκαια τον εαυτό σας στις πρώτες 10 ασκήσεις και πείτε μου πώς τα πήγατε. Ακολουθεί η αγαπημένη σας παραγοντοποίηση!
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου